Ejercicios de repaso
Inferencia estadística
¿Cómo trabajaremos?
- Lee el ejercicio completo.
- Resuélvelo en tu cuaderno.
- Después revisamos el procedimiento paso a paso.
Ten a mano papel y lápiz.
Ejercicio 1 · Posición de un caso
En una encuesta a estudiantes universitarios se construyó una escala de participación social de 0 a 100 puntos.
\[ \bar X=52 \qquad SD=8 \]
a. De la posición al puntaje
¿Qué puntaje tendría una persona ubicada 2 desviaciones estándar por encima de la media?
Para pasar de una posición a un valor usamos:
\[ X=\bar X+z(SD) \]
b. Del puntaje a la posición
Una persona obtiene 44 puntos. ¿A cuántas desviaciones estándar de la media se encuentra?
Para expresar la posición estandarizada del caso usamos:
\[ z= \frac{X-\bar X}{SD} \]
Ejercicio 1 · Resolución a
Dos desviaciones estándar sobre la media
\[ X=52+2(8) \]
\[ X=52+16 \]
\[ \boxed{X=68} \]
68 puntos se encuentra 2 desviaciones estándar por encima de la media.
Ejercicio 1 · Resolución b
Posición de 44 puntos
\[ z= \frac{44-52}{8} \]
\[ z= \frac{-8}{8} \]
\[ \boxed{z=-1} \]
44 puntos se encuentra 1 desviación estándar por debajo de la media.
Ejercicio 2 · Practiquemos nuevamente la posición
En una encuesta se construyó una escala de confianza en las instituciones de 0 a 100 puntos.
\[ \bar X=60 \qquad SD=10 \]
a. Del puntaje a la posición
Una persona obtiene 80 puntos. ¿A cuántas desviaciones estándar por encima o por debajo de la media se encuentra?
Para expresar la posición estandarizada del caso usamos:
\[ z= \frac{X-\bar X}{SD} \]
b. De la posición al puntaje
¿Qué puntaje tendría una persona ubicada 1 desviación estándar por debajo de la media?
Para pasar de una posición a un valor usamos:
\[ X= \bar X+z(SD) \]
c. Interpretación breve
Si al resolver la pregunta a obtienes (z=2), y suponemos una distribución aproximadamente normal:
\[ z=2\approx P97.5 \]
¿Qué significa ese percentil?
Ejercicio 2 · Resolución a
Posición de 80 puntos
\[ z= \frac{80-60}{10} \]
\[ z= \frac{20}{10} \]
\[ \boxed{z=2} \]
80 puntos se encuentra 2 desviaciones estándar por encima de la media.
Ejercicio 2 · Resolución b
Una desviación estándar por debajo de la media
\[ z=-1 \]
Una desviación estándar por debajo de la media corresponde a (z=-1).
\[ X= 60+(-1)(10) \]
\[ X= 60-10 \]
\[ \boxed{X=50} \]
50 puntos se encuentra 1 desviación estándar por debajo de la media.
Ejercicio 2 · Resolución c
¿Qué significa esta posición?
Bajo el supuesto de una distribución aproximadamente normal:
\[ z=2 \]
\[ \boxed{z=2\approx P97.5} \]
Aproximadamente el 97.5% de los casos se encuentra en o por debajo de ese puntaje.
Por eso, 80 puntos representa una posición muy alta dentro de la distribución.
\[ \boxed{z=\text{posición estandarizada de un caso}} \]
\[ \boxed{\text{percentil}=\text{posición acumulada en la distribución}} \]
¿Dónde está este caso en la distribución?
La curva ayuda a ver que (z=2) está muy a la derecha de la media: es una posición alta entre los casos.
Ahora cambia la pregunta
Estábamos describiendo casos individuales dentro de una distribución.
\[ X\rightarrow z\rightarrow\text{percentil} \]
Usábamos:
\[ SD \]
Queremos saber cuánta incertidumbre tiene una estimación obtenida con una muestra.
Utilizaremos:
\[ SE \]
SD describe la variabilidad entre los casos; SE describe la precisión o variabilidad muestral de una estimación.
Ejercicio 3 · Error estándar
En una muestra de estudiantes queremos estimar el promedio de horas semanales dedicadas al estudio.
\[ SD=10 \qquad n=25 \]
(SD) describe cuánto varían las horas de estudio entre estudiantes.
Para estimar la incertidumbre del promedio utilizamos:
\[ SE= \frac{SD}{\sqrt n} \]
a. Calcule el error estándar del promedio.
b. Calcule nuevamente el error estándar si (n=100), manteniendo (SD=10).
c. ¿Con qué muestra estimamos el promedio con mayor precisión?
d. Explique qué ocurre con el (SE) cuando aumenta (n).
Ejercicio 3 · Muestra de 25 estudiantes
\[ SE= \frac{10}{\sqrt{25}} \]
\[ SE= \frac{10}{5} \]
\[ \boxed{SE=2} \]
Con (n=25), el error estándar del promedio es 2.
Ejercicio 3 · Muestra de 100 estudiantes
\[ SE= \frac{10}{\sqrt{100}} \]
\[ SE= \frac{10}{10} \]
\[ \boxed{SE=1} \]
Con (n=100), el error estándar del promedio es 1.
Ejercicio 3 · Comparemos
Muestra 1
\[ n=25 \]
\[ SE=2 \]
Muestra 2
\[ n=100 \]
\[ SE=1 \]
\[ \boxed{ n\uparrow \Rightarrow SE\downarrow } \]
\[ \boxed{ SE\downarrow \Rightarrow \text{mayor precisión} } \]
El SE cuantifica cuánto podría variar el promedio estimado de una muestra a otra. Un SE menor indica una estimación más precisa.
Del error estándar al rango de incertidumbre
El (SE) nos informa sobre la precisión de la estimación.
Pero para construir un rango de incertidumbre debemos elegir un:
\[ \boxed{\text{nivel de confianza}} \]
Por ejemplo, para esta actividad trabajaremos con:
\[ 95\% \qquad \text{valor crítico}=1.96 \]
\[ ME= \text{valor crítico}\times SE \]
\[ IC= \text{estimación}\pm ME \]
El intervalo, y no el SE por sí solo, expresa el rango de incertidumbre alrededor de la estimación.
Ejercicio 4 · Del error estándar al intervalo
En una encuesta se estima el promedio de horas semanales dedicadas a actividades recreativas.
\[ \bar X=20 \qquad SE=2 \]
Para construir un intervalo con un 95% de confianza, se entrega:
\[ \text{valor crítico}=1.96 \]
Para calcular el margen de error:
\[ ME=1.96(SE) \]
Para construir el intervalo:
\[ IC_{95\%}=\bar X\pm ME \]
a. Calcule el margen de error.
b. Construya el intervalo de confianza del 95%.
c. Interprete el intervalo con palabras.
d. Explique qué papel cumple el (SE) en este cálculo.
Ejercicio 4 · Margen de error
\[ ME=1.96(2) \]
\[ \boxed{ME=3.92} \]
Para un nivel de confianza del 95%, el margen alrededor del promedio estimado es aproximadamente 3.92 unidades.
Ejercicio 4 · Intervalo de confianza
\[ IC_{95\%}=20\pm3.92 \]
\[ 20-3.92=16.08 \]
\[ 20+3.92=23.92 \]
\[ \boxed{IC_{95\%}=[16.08,\ 23.92]} \]
Con un nivel de confianza del 95%, el procedimiento produce un intervalo entre 16.08 y 23.92 horas para el promedio poblacional.
¿Dónde apareció el SE?
\[ SE=2 \]
\[ ME=1.96(SE) \]
\[ IC=\bar X\pm ME \]
\[ \boxed{ SE\downarrow \Rightarrow ME\downarrow \Rightarrow IC\text{ más estrecho} } \]
Una estimación más precisa produce, manteniendo el mismo nivel de confianza, un intervalo más estrecho.
Dos preguntas estadísticas diferentes
Usamos (SD) para construir:
\[ z= \frac{X-\bar X}{SD} \]
Bajo normalidad, podemos interpretar percentiles.
Usamos (SE) para describir la precisión de la estimación.
Luego:
\[ \text{confianza} \rightarrow \text{valor crítico} \rightarrow ME \rightarrow IC \]
\[ \boxed{SD\text{ y }SE\text{ no cumplen la misma función}} \]
SD: variabilidad y posición de los casos.
SE: precisión de una estimación y componente para construir su intervalo de confianza.