Unidad 1 · Inferencia estadística y distribuciones muestrales · Módulo 02

M02. Probabilidad y distribuciones muestrales

No podemos anticipar con certeza el resultado de un fenómeno aleatorio. Sin embargo, cuando repetimos el mismo proceso muchas veces, comienzan a aparecer patrones. En este módulo observarás cómo cambian las frecuencias al aumentar las repeticiones, por qué distintas muestras de una misma población producen resultados diferentes y cómo las medias obtenidas forman una distribución muestral.

Pregunta social

¿Cómo puede una muestra pequeña decir algo sobre una población grande?

Imagina una encuesta que selecciona a 1.500 personas para estimar el nivel de confianza en las instituciones de una población mucho mayor. La encuesta no observa a toda la población. Por eso, el promedio obtenido en la muestra puede no coincidir exactamente con el promedio poblacional. Si seleccionáramos otra muestra de 1.500 personas mediante el mismo procedimiento, probablemente participarían personas diferentes y obtendríamos otro promedio. Esto no significa necesariamente que una de las muestras esté equivocada. La variación entre sus resultados es una consecuencia esperable de observar solo una parte de la población. La inferencia estadística estudia esa variabilidad para evaluar qué podemos aprender sobre la población y con cuánta incertidumbre.

Idea central

Para comprender cómo una muestra puede aportar información sobre una población, seguiremos tres pasos: observar el azar, estudiar lo que ocurre al repetir un proceso y trasladar esa lógica al muestreo.

Del azar al patrón

Un fenómeno es aleatorio cuando conocemos los resultados que podrían ocurrir, pero no podemos saber con certeza cuál aparecerá en el próximo intento.

Por ejemplo, al lanzar un dado equilibrado pueden aparecer seis resultados:

\[ S={1,2,3,4,5,6} \]

Este conjunto se llama espacio muestral porque contiene todos los resultados posibles.

Un resultado individual sería obtener un 4. En cambio, un evento puede reunir varios resultados. Consideremos el evento «obtener un número mayor o igual que 4»:

\[ A={4,5,6} \]

De los seis resultados posibles, tres pertenecen al evento. Por lo tanto:

\[ P(A)=\frac{3}{6}=0{,}5 \]

Según este modelo, la probabilidad de obtener un número mayor o igual que 4 es del 50 %.

Esto no significa que el evento ocurrirá exactamente en la mitad de unos pocos lanzamientos. Significa que, al repetir el experimento muchas veces, la proporción de resultados favorables tenderá a acercarse al 50 %.

De la repetición a la regularidad

La frecuencia absoluta indica cuántas veces ocurrió un evento.

Por ejemplo, si al lanzar un dado 20 veces obtenemos un número mayor o igual que 4 en 12 ocasiones, la frecuencia absoluta del evento es 12.

La frecuencia relativa indica qué parte del total representan esas 12 ocasiones:

\[ f_{\text{relativa}} = \frac{\text{N ocurrencias del evento}} {\text{N total de repeticiones}} \]

En este ejemplo:

\[ f_{\text{relativa}} = \frac{12}{20} = 0{,}6 \]

De una muestra a muchas muestras

La población es el conjunto completo de personas o unidades que queremos estudiar. La muestra es una parte de esa población que seleccionamos para obtener información.

Por ejemplo, si queremos conocer el ingreso promedio de todos los hogares de una comuna, el conjunto de hogares constituye la población. Si seleccionamos 100 hogares para realizar el estudio, esos hogares forman la muestra.

Un valor que describe a toda la población se llama parámetro. En cambio, un valor calculado a partir de una muestra se llama estadístico.

La media de todos los hogares de la comuna es un parámetro:

\[ \mu=\text{media poblacional} \]

La media calculada con los 100 hogares seleccionados es un estadístico:

\[ \bar{x}=\text{media muestral} \]

Si seleccionamos otra muestra de 100 hogares, probablemente no obtendremos exactamente los mismos hogares. Por eso, la media muestral puede cambiar de una muestra a otra.

Por ejemplo:

\[ \bar{x}_1=650,000 \]

\[ \bar{x}_2=670,000 \]

\[ \bar{x}_3=640,000 \]

Estas diferencias se producen por la variabilidad propia del muestreo.

Si repetimos este proceso muchas veces y reunimos todas las medias muestrales obtenidas, formamos la distribución muestral de la media.

Es importante recordar que cada valor de esta distribución representa la media de una muestra completa, no el ingreso de una persona o de un hogar individual.

El azar produce variación entre resultados individuales y también entre muestras. Sin embargo, al repetir un procedimiento bajo las mismas condiciones, esa variación puede estudiarse mediante distribuciones y probabilidades.

Ver cómo se construye una distribución muestral

Clave:

En una investigación real normalmente contamos con una sola muestra, no con miles de muestras repetidas.

La estadística inferencial utiliza modelos de probabilidad para representar cómo variaría un estadístico si pudiéramos repetir el muestreo muchas veces.

De este modo, podemos evaluar cuánta incertidumbre existe al utilizar una muestra para aprender sobre una población.

Interpretación para ciencias sociales

Las investigaciones sociales suelen estudiar poblaciones demasiado grandes para observarlas por completo. Por eso, utilizan muestras para estimar características como el ingreso, la confianza institucional o la participación política.

El resultado obtenido depende, en parte, de las unidades que fueron seleccionadas. Otra muestra del mismo tamaño y obtenida mediante el mismo procedimiento puede producir una media diferente.

Esta variación no significa automáticamente que una de las muestras esté equivocada. Es una consecuencia esperable de observar solo una parte de la población.

La inferencia estadística estudia esa variabilidad para responder preguntas como:

  • ¿qué resultados muestrales son frecuentes?
  • ¿cuánto puede cambiar una estimación entre muestras?
  • ¿qué tan lejos puede encontrarse un estadístico del parámetro poblacional?
  • ¿cuánta incertidumbre existe al generalizar desde una muestra?

La calidad de una inferencia no depende solamente del tamaño de la muestra. También depende de cómo fueron seleccionadas las unidades, cómo se midieron las variables y qué población se quiere representar.

Una muestra no necesita copiar exactamente a la población para aportar información. Necesitamos comprender cuánto pueden variar sus resultados y bajo qué condiciones podemos generalizarlos.

Fórmulas mínimas y complementarias

Probabilidad clásica

\[ P(A)= \frac{\text{resultados favorables}} {\text{resultados posibles}} \]

El evento A define qué resultados se consideran favorables. La fórmula se aplica cuando los resultados elementales son equiprobables. En el visualizador, los resultados favorables se resaltan dentro del espacio muestral.

Frecuencia relativa

\[ \widehat{P}_n(A)=\frac{k}{n} \]

k es el número de veces que ocurrió el evento y n es el total de repeticiones. La altura de la barra empírica representa esta proporción, que puede diferir de la probabilidad teórica.

Media muestral

\[ \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} \]

Cada valor observado representa una unidad seleccionada y n indica el tamaño de la muestra. Cada muestra produce una media muestral, que se agrega a la distribución muestral.

Código en R y Python 
set.seed(123)

# 1. Un dado
tiradas <- sample(1:6, size = 1000, replace = TRUE)

proporciones <- prop.table(table(factor(tiradas, levels = 1:6)))
proporciones

barplot(
  proporciones,
  xlab = "Resultado",
  ylab = "Frecuencia relativa",
  main = "Distribución empírica de 1.000 tiradas"
)

abline(h = 1 / 6, lty = 2)

# Evento: obtener 4, 5 o 6
evento <- tiradas >= 4
mean(evento)

# 2. Todas las combinaciones de dos dados
combinaciones <- expand.grid(
  dado_1 = 1:6,
  dado_2 = 1:6
)

combinaciones$suma <- combinaciones$dado_1 +
  combinaciones$dado_2

prop.table(table(combinaciones$suma))

barplot(
  prop.table(table(combinaciones$suma)),
  xlab = "Suma",
  ylab = "Probabilidad",
  main = "Distribución teórica de la suma"
)

# 3. Población social simulada
poblacion <- c(
  400000, 500000, 600000,
  700000, 800000, 900000
)

media_poblacional <- mean(poblacion)

muestra <- sample(poblacion, size = 3, replace = FALSE)
mean(muestra)

muestras_posibles <- combn(poblacion, 3)
medias_posibles <- colMeans(muestras_posibles)

media_poblacional
range(medias_posibles)
mean(medias_posibles)

hist(
  medias_posibles,
  breaks = 8,
  xlab = "Media muestral ($)",
  main = "Distribución de medias muestrales"
)

abline(v = media_poblacional, lty = 2)

medias_simuladas <- replicate(
  500,
  mean(sample(poblacion, size = 3, replace = FALSE))
)

hist(
  medias_simuladas,
  breaks = 8,
  xlab = "Media muestral ($)",
  main = "500 muestras aleatorias"
)

abline(v = media_poblacional, lty = 2)
import itertools
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(123)

# 1. Un dado
tiradas = rng.integers(1, 7, size=1000)

conteos = np.bincount(tiradas, minlength=7)[1:]
proporciones = conteos / len(tiradas)
print(proporciones)

plt.bar(range(1, 7), proporciones)
plt.axhline(1 / 6, linestyle="--")
plt.xlabel("Resultado")
plt.ylabel("Frecuencia relativa")
plt.title("Distribución empírica de 1.000 tiradas")
plt.show()

evento = tiradas >= 4
print(evento.mean())

# 2. Todas las combinaciones de dos dados
combinaciones = list(itertools.product(range(1, 7), repeat=2))
sumas = np.array([d1 + d2 for d1, d2 in combinaciones])

valores, conteos = np.unique(sumas, return_counts=True)
probabilidades = conteos / len(sumas)

print(dict(zip(valores, probabilidades)))

plt.bar(valores, probabilidades)
plt.xlabel("Suma")
plt.ylabel("Probabilidad")
plt.title("Distribución teórica de la suma")
plt.show()

# 3. Población social simulada
poblacion = np.array([
    400000, 500000, 600000,
    700000, 800000, 900000
])

media_poblacional = poblacion.mean()

muestra = rng.choice(poblacion, size=3, replace=False)
print(muestra, muestra.mean())

muestras_posibles = list(itertools.combinations(poblacion, 3))
medias_posibles = np.array([
    np.mean(muestra) for muestra in muestras_posibles
])

print(media_poblacional)
print(medias_posibles.min(), medias_posibles.max())
print(medias_posibles.mean())

plt.hist(medias_posibles, bins=8)
plt.axvline(media_poblacional, linestyle="--")
plt.xlabel("Media muestral ($)")
plt.title("Distribución de medias muestrales")
plt.show()

medias_simuladas = np.array([
    rng.choice(poblacion, size=3, replace=False).mean()
    for _ in range(500)
])

plt.hist(medias_simuladas, bins=8)
plt.axvline(media_poblacional, linestyle="--")
plt.xlabel("Media muestral ($)")
plt.title("500 muestras aleatorias")
plt.show()
Bibliografía
  • Agresti, A., y Finlay, B. Statistical Methods for the Social Sciences. Pearson.
  • Moore, D. S. (2010). Estadística aplicada básica. Antoni Bosch.
  • Ritchey, F. J. (2008). Estadística para las ciencias sociales. McGraw-Hill.