Unidad 2 · Asociación bivariada · Módulo 08

M08. Asociación, covarianza y correlación de Pearson

Hasta ahora hemos descrito variables por separado. El análisis bivariado da un paso adicional: observa dos características en las mismas unidades de análisis y estudia cómo varían conjuntamente. Cuando cada persona tiene un valor de educación y otro de ingreso, ambos pueden representarse como una coordenada en una nube de puntos. La covarianza resume la dirección general de esa variación conjunta y la correlación de Pearson la expresa en una escala estandarizada. Sin embargo, Pearson describe específicamente una asociación lineal y ningún coeficiente sustituye la observación del gráfico. Comenzaremos con una pregunta frecuente en las ciencias sociales: ¿cómo se relacionan la educación y los ingresos?

Pregunta Social

¿A mayor educación, mayores ingresos?

Esta pregunta aparece con frecuencia en el estudio de la estratificación y la desigualdad social. Para examinarla necesitamos observar simultáneamente dos características de las mismas personas. Nuestra unidad de análisis será la persona ocupada. La variable \(X\) corresponderá a los años de educación formal completados y la variable \(Y\) al ingreso laboral mensual.

Cada persona aporta un par de observaciones:

\[ (x_i, y_i) \]

Por ejemplo, una persona puede tener 12 años de educación y un ingreso laboral mensual determinado. En una nube de puntos, esa combinación se representa mediante un solo punto. El eje horizontal muestra los años de educación y el eje vertical, el ingreso. Por lo tanto, un punto no representa un promedio, una ocupación ni un grupo completo: representa a una persona observada en dos dimensiones.

Una dirección ascendente indicaría que los valores mayores de educación tienden a coincidir con ingresos mayores. Esa tendencia no implica una correspondencia exacta. Personas con la misma educación pueden recibir ingresos muy diferentes, y una persona con más años de educación no necesariamente supera en ingresos a todas las personas con menos educación.

Tampoco corresponde interpretar la asociación como una explicación causal completa. Los ingresos pueden relacionarse con la ocupación, la experiencia laboral, el género, el sector económico, el territorio, el origen social y otras condiciones. En este módulo estudiaremos la forma de la asociación observada, no un efecto causal independiente.

Una asociación positiva describe una tendencia conjunta, no una regla que se cumpla para todas las personas.

Idea Central

De dos variables a una nube de puntos

Cada persona posee un valor \(x_i\) en educación y un valor \(y_i\) en ingreso. Ambos valores forman una coordenada. Al representar todas las coordenadas aparece una nube de puntos que permite examinar cuatro dimensiones: dirección, forma, dispersión y casos particulares.

  • La dirección puede ser ascendente, descendente o no mostrar una orientación lineal clara.
  • La forma puede aproximarse a una recta, seguir una curva o presentar grupos diferenciados.
  • La dispersión muestra cuánto se separan los casos del patrón general.
  • Los casos extremos pueden apartarse considerablemente del resto.

Un punto no representa un promedio ni un grupo: representa una unidad observada en dos dimensiones.

De las posiciones a la covarianza

Cada variable tiene su propio centro: la media de educación, \(\bar{x}\), y la media de ingreso, \(\bar{y}\). Para cada persona podemos calcular cuánto se aleja de ambos centros:

\[ x_i-\bar{x} \qquad\text{y}\qquad y_i-\bar{y} \]

Cuando una persona se encuentra sobre ambas medias, las dos desviaciones son positivas. Cuando se encuentra bajo ambas medias, las dos son negativas. En los dos casos, el producto de las desviaciones es positivo. En cambio, si está sobre una media y bajo la otra, el producto es negativo.

La covarianza resume el balance de todas esas contribuciones:

  • predominio de productos positivos \(\rightarrow\) covarianza positiva;
  • predominio de productos negativos \(\rightarrow\) covarianza negativa;
  • compensación entre ambos tipos de productos \(\rightarrow\) covarianza cercana a cero.

De la covarianza a Pearson

La covarianza informa la dirección conjunta, pero conserva las unidades de las variables. Si el ingreso se expresa en pesos, su valor numérico será distinto que si se expresa en miles de pesos. Por eso, la magnitud de una covarianza no puede interpretarse mediante una escala universal.

La correlación de Pearson estandariza la covarianza utilizando las desviaciones estándar de ambas variables. El resultado, \(r\), no tiene unidades y se ubica entre \(-1\) y \(+1\):

  • el signo informa la dirección lineal;
  • el valor absoluto informa cuán definido es el patrón lineal;
  • un valor cercano a cero indica poca asociación lineal, no necesariamente ausencia de cualquier relación.

Pearson resume una relación lineal y siempre debe interpretarse junto con la nube de puntos.

A continuación podrás observar cómo estas propiedades cambian cuando se modifica el patrón de los datos.

Ver en pantalla completa

Después de explorar

La dirección y la dispersión responden preguntas diferentes. Una nube puede conservar una orientación ascendente y, al mismo tiempo, presentar una gran variación alrededor de esa tendencia. Pearson resume qué tan definido es el patrón lineal, pero puede entregar un valor pequeño ante una relación curvilínea claramente visible. También puede cambiar de manera importante cuando aparece una observación influyente.

La escala de medición afecta de forma distinta a la covarianza y a Pearson. Expresar el ingreso en miles de pesos reduce el valor numérico de la covarianza, porque cambian las unidades. La correlación permanece igual ante ese cambio positivo de escala, ya que estandariza la variación de ambas variables.

Evita estas interpretaciones

Interpretación problemática Corrección
“Cada punto representa un grupo.” Cada punto representa una unidad de análisis con dos valores observados.
“Un valor cercano a cero demuestra que no existe relación.” Indica ausencia de una relación lineal definida. Debe revisarse la forma de la nube.
“La covarianza es un porcentaje.” La covarianza es un promedio de productos de desviaciones y conserva unidades combinadas.
“Pearson mide cualquier relación.” Pearson resume asociaciones lineales. Las formas curvilíneas requieren observar el gráfico y considerar otras herramientas.
“Cambiar las unidades modifica Pearson.” Un cambio positivo de escala, como pasar de pesos a miles de pesos, modifica la covarianza, pero no Pearson.
Ejemplo aplicado: Una correlación no cuenta toda la historia Ver ejemplo Ocultar ejemplo

Los tres escenarios siguientes utilizan el mismo contexto social, pero presentan estructuras diferentes.

Comparativa de escenarios de correlación
Escenario Forma de la nube Covarianza Pearson Interpretación correcta Error que evita
A. Tendencia lineal Ascendente y relativamente compacta Positiva Positivo y relativamente alto Existe una asociación lineal positiva y relativamente definida en estos datos “Todos los casos siguen exactamente la relación”
B. Caso influyente Patrón general débil con un punto alejado Sensible al caso extremo Puede aumentar de manera importante El coeficiente depende en parte de una observación influyente “Una correlación alta garantiza un patrón estable”
C. Patrón curvilíneo Estructura de puntos visible, pero no recta Puede compensarse Pequeño o intermedio Existe una asociación no lineal que Pearson resume de manera insuficiente “\(r\) cercano a cero significa ausencia de relación”

Escenario A. Tendencia lineal

Los puntos siguen una dirección ascendente relativamente clara. La covarianza es positiva y Pearson refleja que los valores mayores de educación tienden a coincidir con ingresos mayores. Aun así, los casos no se ubican exactamente sobre una línea y persiste heterogeneidad entre personas.

Escenario B. Caso influyente

La mayoría de los puntos presenta una relación poco definida, pero una observación se encuentra muy alejada en la zona superior derecha. Ese caso puede aumentar la covarianza y la correlación. La conclusión debe reconocer que el resultado es sensible a una observación particular y revisar si corresponde a un dato válido, un error o un caso socialmente relevante.

Escenario C. Patrón curvilíneo

La nube de puntos sigue una forma clara, pero la relación cambia a lo largo de los valores de educación. Los productos positivos y negativos pueden compensarse y producir una correlación pequeña. El coeficiente no demuestra ausencia de asociación: indica que una recta no representa adecuadamente la estructura observada.

Cuatro reglas de lectura

  1. Observa el gráfico antes de interpretar el coeficiente.
  2. Nubes de puntos diferentes pueden producir valores de Pearson parecidos.
  3. Pearson resume asociación lineal, no cualquier forma de relación.
  4. Ninguna de estas asociaciones demuestra causalidad por sí sola.
Fórmulas mínimas y complementarias

Fórmulas de Asociación y Correlación Muestral

Desviación de \(X\)

\[ x_i-\bar{x} \]

Indica cuánto se encuentra el caso \(i\) por encima o por debajo de la media de educación.

Desviación de \(Y\)

\[ y_i-\bar{y} \]

Indica cuánto se encuentra el caso \(i\) por encima o por debajo de la media de ingreso.

Producto de desviaciones

\[ (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \]

  • Dos desviaciones con el mismo signo producen un aporte positivo.
  • Dos desviaciones con signos opuestos producen un aporte negativo.
  • Un caso situado exactamente sobre una media aporta cero en esa dimensión.
Covarianza muestral

\[ s_{XY} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1} \]

La covarianza resume el balance de las contribuciones individuales. Su signo informa la dirección general, pero su magnitud depende de las unidades de \(X\) e \(Y\). En este caso, sus unidades combinan:

\[ \text{años de educación}\times\text{pesos} \]

Correlación de Pearson

\[ r = \frac{s_{XY}}{s_Xs_Y} \]

donde \(s_X\) y \(s_Y\) son las desviaciones estándar muestrales. La división estandariza la covarianza y produce una medida sin unidades, comprendida entre \(-1\) y \(+1\), orientada a la asociación lineal.

Propiedades complementarias

Si se suma una constante a una variable, Pearson no cambia:

\[ \operatorname{cor}(X,Y+a)=\operatorname{cor}(X,Y) \]

Si se multiplica por una constante positiva, tampoco cambia:

\[ \operatorname{cor}(X,bY)=\operatorname{cor}(X,Y), \qquad b>0 \]

Por eso, pasar de pesos a miles de pesos modifica la covarianza, pero no \(r\).

Si se invierte el sentido de una variable mediante una constante negativa, cambia el signo:

\[ \operatorname{cor}(X,-Y)=-\operatorname{cor}(X,Y) \]

Finalmente:

\[ r=0 \]

significa ausencia de asociación lineal en la muestra. No demuestra ausencia de cualquier forma de relación.

Código en R y Python 
# Base de ejemplo
datos <- data.frame(
  persona = sprintf("P%02d", 1:12),
  educacion = c(8, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20),
  ingreso = c(
    480000, 520000, 610000, 570000,
    720000, 690000, 830000, 910000,
    880000, 1080000, 1190000, 1320000
  )
)

# Conservar casos con información en ambas variables
datos_completos <- datos[
  complete.cases(datos[c("educacion", "ingreso")]),
]

# Nube de puntos
plot(
  datos_completos$educacion,
  datos_completos$ingreso,
  xlab = "Años de educación",
  ylab = "Ingreso laboral mensual (CLP)",
  main = "Educación e ingreso",
  pch = 19
)

# Covarianza y correlación de Pearson
covarianza <- cov(
  datos_completos$educacion,
  datos_completos$ingreso
)

pearson <- cor(
  datos_completos$educacion,
  datos_completos$ingreso,
  method = "pearson"
)

covarianza
pearson

# Cambiar la unidad del ingreso
datos_completos$ingreso_miles <- datos_completos$ingreso / 1000

cov(
  datos_completos$educacion,
  datos_completos$ingreso_miles
)

cor(
  datos_completos$educacion,
  datos_completos$ingreso_miles
)

# La covarianza cambia de escala.
# La correlación de Pearson permanece igual.

# Añadir una observación extrema
datos_extremo <- rbind(
  datos_completos,
  data.frame(
    persona = "P13",
    educacion = 21,
    ingreso = 3500000,
    ingreso_miles = 3500
  )
)

resultado <- data.frame(
  escenario = c("Sin caso extremo", "Con caso extremo"),
  covarianza = c(
    cov(datos_completos$educacion, datos_completos$ingreso),
    cov(datos_extremo$educacion, datos_extremo$ingreso)
  ),
  pearson = c(
    cor(datos_completos$educacion, datos_completos$ingreso),
    cor(datos_extremo$educacion, datos_extremo$ingreso)
  )
)

resultado
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# Base de ejemplo
datos = pd.DataFrame({
    "persona": [f"P{i:02d}" for i in range(1, 13)],
    "educacion": [8, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20],
    "ingreso": [
        480_000, 520_000, 610_000, 570_000,
        720_000, 690_000, 830_000, 910_000,
        880_000, 1_080_000, 1_190_000, 1_320_000,
    ],
})

# Conservar casos completos
datos_completos = datos.dropna(
    subset=["educacion", "ingreso"]
).copy()

# Nube de puntos
fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter(
    datos_completos["educacion"],
    datos_completos["ingreso"],
)
ax.set_xlabel("Años de educación")
ax.set_ylabel("Ingreso laboral mensual (CLP)")
ax.set_title("Educación e ingreso")
plt.show()

# Covarianza muestral y correlación de Pearson
covarianza = datos_completos[
    ["educacion", "ingreso"]
].cov().loc["educacion", "ingreso"]

pearson = datos_completos[
    ["educacion", "ingreso"]
].corr(method="pearson").loc["educacion", "ingreso"]

print("Covarianza:", covarianza)
print("Pearson:", pearson)

# Cambiar la unidad del ingreso
datos_completos["ingreso_miles"] = (
    datos_completos["ingreso"] / 1_000
)

covarianza_miles = datos_completos[
    ["educacion", "ingreso_miles"]
].cov().loc["educacion", "ingreso_miles"]

pearson_miles = datos_completos[
    ["educacion", "ingreso_miles"]
].corr().loc["educacion", "ingreso_miles"]

print("Covarianza en miles:", covarianza_miles)
print("Pearson en miles:", pearson_miles)

# Comparar antes y después de un caso extremo
caso_extremo = pd.DataFrame({
    "persona": ["P13"],
    "educacion": [21],
    "ingreso": [3_500_000],
    "ingreso_miles": [3_500],
})

datos_extremo = pd.concat(
    [datos_completos, caso_extremo],
    ignore_index=True,
)

comparacion = pd.DataFrame({
    "escenario": ["Sin caso extremo", "Con caso extremo"],
    "covarianza": [
        datos_completos[["educacion", "ingreso"]]
        .cov().loc["educacion", "ingreso"],
        datos_extremo[["educacion", "ingreso"]]
        .cov().loc["educacion", "ingreso"],
    ],
    "pearson": [
        datos_completos[["educacion", "ingreso"]]
        .corr().loc["educacion", "ingreso"],
        datos_extremo[["educacion", "ingreso"]]
        .corr().loc["educacion", "ingreso"],
    ],
})

print(comparacion)
Bibliografía
  • Ritchey, F. J. (2008). Estadística para las ciencias sociales. McGraw-Hill. (Cap. 13: Asociación bivariada, lógica de co-variación, y coeficiente de Pearson).
  • Pardo, A., Ruiz, M. A., & San Martín, R. (2009). Análisis de datos en ciencias sociales y de la salud I. Síntesis. (Cap. 9: Relación entre variables cuantitativas: la covarianza).
  • Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences. Routledge. (Cap. 2: Bivariate correlation, Pearson’s \(r\) and covariance).
  • Navarro, D. (2018). Learning Statistics with R. Estimación del coeficiente de Pearson, scatterplots y pruebas computacionales en R (cor.test).