Unidad 2 · Asociación bivariada · Módulo 09

M09. Inferencia y magnitud de la correlación

En el módulo anterior utilizamos \(r\) para resumir la asociación lineal observada entre educación e ingreso. Ese valor, sin embargo, procede de una muestra concreta: otra muestra de la misma población podría producir una correlación diferente. La inferencia estadística permite estudiar esa variabilidad y evaluar qué valores de la correlación poblacional \(\rho\) son compatibles con la evidencia disponible. Para ello combinaremos hipótesis, estadístico de contraste, valor \(p\), intervalo de confianza y medidas de magnitud. Cada elemento responde una pregunta distinta y ninguno convierte una asociación en una explicación causal.

Pregunta Social

¿La relación entre educación e ingresos observada en una muestra también existe en la población?

En el M08 describimos la relación entre los años de educación formal y el ingreso laboral mensual de un conjunto de personas ocupadas. La nube de puntos y la correlación de Pearson permitieron resumir la dirección y el grado de definición del patrón lineal. Ahora incorporaremos una distinción adicional: las personas observadas constituyen una muestra, mientras que la investigación suele buscar conclusiones sobre una población más amplia, definida por un territorio y un período determinados.

La correlación calculada con los casos observados se representa mediante \(r\). Es una estimación muestral puede cambiar si seleccionamos otro conjunto de personas. La correlación existente en la población se representa mediante \(\rho\). Este parámetro es normalmente desconocido: no podemos observar directamente a todas las personas que forman la población y, por eso, utilizamos la información de la muestra.

La inferencia estadística no elimina esa incertidumbre. Permite cuantificarla y formular conclusiones prudentes. Una prueba de hipótesis evalúa cuán compatibles son los datos con una correlación poblacional nula. Un intervalo de confianza muestra un rango de valores de \(\rho\) compatibles con la estimación y el procedimiento utilizado. La magnitud observada, por su parte, ayuda a discutir la relevancia del patrón.

Incluso si existe una asociación poblacional, el resultado no demuestra que la educación produzca por sí sola cambios en el ingreso. También pueden intervenir la ocupación, la experiencia, el género, el sector económico, el territorio, el origen social y otras condiciones.

Dos muestras, una misma pregunta

Escenario A · Muestra pequeña

Supongamos que observamos entre 25 y 30 personas y obtenemos una correlación positiva de magnitud apreciable. La nube conserva una dispersión importante y el intervalo de confianza resulta amplio. Aunque la estimación apunta hacia una asociación positiva, el cero podría permanecer entre los valores compatibles con los datos.

La conclusión adecuada no es que “no exista relación”. La muestra contiene poca información para precisar la magnitud de la correlación poblacional. El resultado admite distintos valores posibles de \(\rho\), incluidos algunos cercanos a cero y otros más alejados.

Escenario B · Muestra grande

Ahora imaginemos una muestra de entre 200 y 300 personas con un valor de \(r\) parecido. La estimación central puede mantenerse, pero el intervalo suele ser más estrecho, el resultado tiende a ser más estable entre extracciones y el valor \(p\) puede ser menor.

El aumento de \(n\) no hizo más intensa la asociación. Permitió estimarla con mayor precisión.

Dos muestras pueden producir correlaciones semejantes y, aun así, sostener conclusiones inferenciales diferentes: la estimación expresada por \(r\), la precisión del intervalo, la evidencia de \(H_0\) bajo el valor \(p\), y la relevancia potencial de la magnitud.

Idea Central

De \(r\) muestral a \(\rho\) poblacional

La correlación muestral \(r\) se calcula con las personas incluidas en una muestra. La correlación poblacional \(\rho\) caracteriza la asociación lineal en la población definida por la investigación. Como normalmente no observamos toda la población, utilizamos \(r\) para aprender sobre un parámetro desconocido.

Si extraemos varias muestras de la misma población, obtendremos nubes y correlaciones ligeramente distintas. Esa variabilidad muestral es una característica normal del procedimiento, no una señal automática de error.

Que dos muestras produzcan resultados distintos no significa necesariamente que una de ellas esté mal calculada.

De la estimación a la incertidumbre

La prueba de hipótesis y el intervalo de confianza son herramientas complementarias. La prueba evalúa una afirmación sobre \(\rho\), mientras que el intervalo muestra un rango de valores poblacionales compatibles con los datos y el método utilizado.

Un intervalo más estrecho indica mayor precisión. Un intervalo amplio indica que la magnitud poblacional todavía está estimada con mucha incertidumbre. Si el intervalo incluye cero, la muestra no aporta evidencia suficientemente clara para descartarlo, pero esto no demuestra que \(\rho=0\).

El valor \(p\) se calcula suponiendo válida la hipótesis nula. No corresponde interpretarlo como la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.

De la evidencia a la magnitud

La estimación \(r\), el intervalo de confianza, el valor \(p\) y \(R^2\) responden preguntas diferentes. Una asociación pequeña puede ser detectada con claridad cuando la muestra es muy grande. Una correlación muestral notable puede, en cambio, estimarse con poca precisión cuando existen pocos casos.

En el contexto bivariado lineal, \(R^2=r^2\) ayuda a describir la proporción de variación asociada al modelo lineal simple. No representa el porcentaje del ingreso causado por la educación. La relevancia del resultado depende del problema sociológico, la medición, la forma de la relación y las condiciones bajo las que se obtuvieron los datos.

De la estimación a la conclusión

La correlación \(r\) resume el patrón lineal de la muestra, pero las hipótesis se formulan sobre el parámetro poblacional \(\rho\). Para evaluar \(H_0:\rho=0\), el estadístico \(t\) combina la magnitud observada de \(r\) con la cantidad de información aportada por \(n\). Sus grados de libertad son \(n-2\) y determinan la distribución de referencia empleada en el contraste.

El valor \(p\) se interpreta bajo \(H_0\): resume cuán extremos serían resultados como el observado si la correlación poblacional fuera nula. El intervalo de confianza complementa esa lectura al mostrar los valores de \(\rho\) compatibles con los datos y comunicar la precisión de la estimación. Finalmente, \(r\) y \(R^2\) ayudan a discutir la magnitud del patrón lineal. Una conclusión completa integra estas piezas sin convertir la evidencia estadística en importancia automática ni en causalidad.

Cuatro preguntas para interpretar una correlación

1. ¿Cuál es la estimación?

Comienza por \(r\):

  • ¿el signo es positivo o negativo?;
  • ¿qué magnitud presenta la asociación observada?;
  • ¿la nube muestra una forma aproximadamente lineal?;
  • ¿la dirección es coherente con la pregunta sociológica?

La estimación debe interpretarse junto con el gráfico. Un coeficiente no corrige una forma curvilínea ni elimina la influencia de observaciones particulares.

2. ¿Con qué precisión se estimó?

Examina el intervalo de confianza:

  • ¿es estrecho o amplio?;
  • ¿qué valores de \(\rho\) son compatibles?;
  • ¿incluye cero?;
  • ¿la muestra parece aportar información suficiente para precisar la magnitud?

El intervalo no contiene al 95 % de las personas ni al 95 % de las correlaciones individuales. Se refiere a la incertidumbre sobre el parámetro poblacional.

3. ¿Qué evidencia existe frente a \(H_0\)?

Integra:

  • el estadístico \(t\);
  • los grados de libertad;
  • el valor \(p\);
  • la relación entre el intervalo y cero.

Evita reducir el análisis a las etiquetas “significativo” o “no significativo”. Un resultado se interpreta en términos de compatibilidad con \(H_0\), no como una prueba absoluta de presencia o ausencia.

4. ¿Qué significa sociológicamente?

Considera:

  • la magnitud de \(r\);
  • la proporción lineal asociada resumida por \(R^2\);
  • la calidad de la medición;
  • la heterogeneidad entre personas;
  • la posible existencia de variables omitidas;
  • el diseño de la investigación;
  • la ausencia de una conclusión causal automática.
Advertencia

La inferencia usual para Pearson supone observaciones independientes y una relación aproximadamente lineal. Las observaciones influyentes pueden alterar fuertemente \(r\). La prueba y el intervalo no compensan una nube mal representada por una recta.

Evita estas interpretaciones

Interpretación problemática Corrección
“El valor \(p\) es la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.” El valor \(p\) se calcula suponiendo \(H_0\) y describe la extremidad de los resultados bajo ese supuesto.
“Un resultado no significativo demuestra que no existe asociación.” Puede reflejar poca información, un intervalo amplio o una asociación poblacional cercana a cero. No demuestra ausencia.
“Un resultado significativo demuestra una asociación importante.” La evidencia frente a \(H_0\) no determina la magnitud ni la relevancia sociológica.
“Una muestra más grande hace que la asociación sea más fuerte.” Una muestra mayor suele mejorar la precisión; no aumenta automáticamente \(r\) ni \(\rho\).
“El intervalo contiene al 95 % de las personas.” El intervalo se refiere a valores compatibles del parámetro poblacional, no a la distribución de casos individuales.
“Si el intervalo incluye cero, entonces \(\rho=0\).” Incluir cero indica que no puede descartarse con claridad dentro de ese procedimiento; no fija el parámetro exactamente en cero.
Ejemplo aplicado: significación, precisión y magnitud no son lo mismo Ver ejemplo Ocultar ejemplo

Los tres escenarios siguientes son construidos con fines pedagógicos. Su propósito es separar preguntas que suelen confundirse.

Comparación de escenarios de inferencia
Escenario Tamaño muestral \(r\) Intervalo Valor \(p\) \(R^2\) Lectura principal
A. Magnitud apreciable, poca información Pequeño Apreciable Amplio Podría no ser pequeño Intermedio La estimación es sugerente, pero imprecisa
B. Magnitud pequeña, mucha información Muy grande Pequeño Estrecho Pequeño Bajo Existe evidencia clara para una asociación reducida
C. Magnitud y precisión apreciables Grande Intermedio Relativamente estrecho Pequeño Intermedio Estimación, precisión y evidencia son coherentes

Escenario A. Magnitud apreciable, poca información

Una muestra pequeña produce una correlación muestral de magnitud apreciable, pero el intervalo es amplio. El valor \(p\) podría no ser pequeño porque existen pocos casos y, por tanto, mucha incertidumbre.

Interpretación correcta: la estimación sugiere una asociación, pero la muestra no permite precisar bien su magnitud poblacional.

Error que evita: concluir que un resultado no significativo demuestra que no existe asociación.

Escenario B. Magnitud pequeña, mucha información

Una muestra muy grande produce una correlación pequeña, estimada mediante un intervalo estrecho. El valor \(p\) puede ser reducido aunque \(R^2\) indique que la asociación lineal representa una fracción limitada de la variación.

Interpretación correcta: existe evidencia estadística de una asociación poblacional distinta de cero, pero la magnitud estimada es reducida.

Error que evita: confundir un valor \(p\) pequeño con una relación sustantivamente importante.

Escenario C. Magnitud y precisión apreciables

Una muestra grande produce una correlación intermedia, un intervalo relativamente estrecho y evidencia clara frente a una correlación poblacional nula. La estimación, la precisión y la evidencia apuntan en una dirección coherente.

Interpretación correcta: los datos respaldan una asociación lineal poblacional estimada con una precisión razonable. El resultado continúa siendo asociativo y no demuestra causalidad.

Lo que distingue cada indicador

  • El valor \(p\) no mide magnitud.
  • \(R^2\) no mide evidencia.
  • El intervalo comunica precisión y valores compatibles.
  • El tamaño muestral influye en la incertidumbre y la detectabilidad.
  • La relevancia sustantiva depende del contexto.
  • Una correlación no demuestra un mecanismo causal.
Fórmulas mínimas y complementarias

Fórmulas de Inferencia y Magnitud de la Correlación

Hipótesis bilateral

\[ H_0:\rho=0 \]

\[ H_A:\rho\neq0 \]

Las hipótesis se refieren a la correlación poblacional. La alternativa bilateral plantea que \(\rho\) difiere de cero sin anticipar una dirección específica. Rechazar \(H_0\) no demuestra causalidad.

Estadístico de contraste

\[ t = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} \]

El estadístico combina la correlación observada \(r\), el tamaño muestral \(n\), y la distancia de \(|r|\) respecto de 1. Para un mismo \(r\), una muestra mayor suele producir un valor absoluto de \(t\) mayor. El estadístico \(t\) no es una medida de magnitud sustantiva.

Grados de libertad

\[ gl=n-2 \]

Los grados de libertad dependen del tamaño muestral y permiten identificar la distribución de referencia. No expresan la intensidad de la asociación.

Valor \(p\)

El valor \(p\) representa la probabilidad, suponiendo válida \(H_0\), de obtener un estadístico tan extremo o más extremo que el observado. No representa \(P(H_0\mid\text{datos})\).

Magnitud lineal asociada

\[ R^2=r^2 \]

En el contexto bivariado lineal, \(R^2\) expresa la proporción de variación asociada al modelo lineal simple. No representa el porcentaje del ingreso causado por la educación y no sustituye la observación de la nube.

Transformación de Fisher

La distribución de \(r\) no es simétrica, especialmente cuando la correlación se aleja de cero. Para construir un intervalo suele utilizarse la transformación:

\[ z_r = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+r}{1-r}\right) \]

Su error estándar aproximado es:

\[ SE_z = \frac{1}{\sqrt{n-3}} \]

En la escala transformada, los límites son:

\[ z_r \pm z_{\alpha/2}SE_z \]

Luego, cada límite vuelve a la escala de correlación mediante:

\[ r = \frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1} \]

El cuerpo principal del módulo debe centrarse en interpretar el intervalo, no en memorizar este procedimiento.

Nivel de confianza y amplitud

Aumentar el nivel de confianza mantiene el centro de la estimación, pero amplía el intervalo. Un intervalo del 99 % suele ser más amplio que uno del 95 % calculado con los mismos datos.

Código en R y Python 
set.seed(2026)

# Población simulada
N <- 2500

poblacion <- data.frame(
  persona = sprintf("P%04d", seq_len(N)),
  educacion = pmin(
    22,
    pmax(6, round(rnorm(N, mean = 13.5, sd = 3.1)))
  )
)

poblacion$ingreso <- pmax(
  250000,
  250000 +
    55000 * poblacion$educacion +
    rnorm(N, mean = 0, sd = 420000)
)

# Extraer una muestra sin reemplazo
muestra <- poblacion[
  sample(seq_len(nrow(poblacion)), size = 80),
]

# Conservar casos completos
muestra <- muestra[
  complete.cases(muestra[c("educacion", "ingreso")]),
]

# Correlación, contraste e intervalo
resultado <- cor.test(
  muestra$educacion,
  muestra$ingreso,
  method = "pearson",
  alternative = "two.sided",
  conf.level = 0.95
)

r <- unname(resultado$estimate)
t_observado <- unname(resultado$statistic)
gl <- unname(resultado$parameter)
p_valor <- resultado$p.value
intervalo <- resultado$conf.int
R2 <- r^2

r
t_observado
gl
p_valor
intervalo
R2

# Comparar muestras de distinto tamaño
resumir_muestra <- function(poblacion, n, nivel = 0.95) {
  indices <- sample(seq_len(nrow(poblacion)), size = n)
  datos <- poblacion[indices, c("educacion", "ingreso")]
  datos <- datos[complete.cases(datos), ]

  prueba <- cor.test(
    datos$educacion,
    datos$ingreso,
    method = "pearson",
    conf.level = nivel
  )

  data.frame(
    n = nrow(datos),
    r = unname(prueba$estimate),
    li = prueba$conf.int[1],
    ls = prueba$conf.int[2],
    amplitud = diff(prueba$conf.int),
    p = prueba$p.value
  )
}

rbind(
  resumir_muestra(poblacion, 30),
  resumir_muestra(poblacion, 250)
)

# Repetir el muestreo
set.seed(2026)

repeticiones <- do.call(
  rbind,
  replicate(
    100,
    resumir_muestra(poblacion, n = 50),
    simplify = FALSE
  )
)

summary(repeticiones$r)
summary(repeticiones$amplitud)

hist(
  repeticiones$r,
  main = "Variación de r entre muestras",
  xlab = "Correlación muestral",
  breaks = 15
)
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(2026)

# Población simulada
N = 2500

educacion = np.clip(
    np.rint(rng.normal(13.5, 3.1, N)),
    6,
    22,
)

ingreso = np.maximum(
    250_000,
    250_000
    + 55_000 * educacion
    + rng.normal(0, 420_000, N),
)

poblacion = pd.DataFrame({
    "persona": [f"P%04d" % i for i in range(1, N + 1)],
    "educacion": educacion,
    "ingreso": ingreso,
})

# Muestra sin reemplazo
muestra = poblacion.sample(
    n=80,
    replace=False,
    random_state=2026,
).dropna(subset=["educacion", "ingreso"])

# Correlación, estadístico y valor p
r, p_valor = stats.pearsonr(
    muestra["educacion"],
    muestra["ingreso"],
)

n = len(muestra)
gl = n - 2

if np.isclose(abs(r), 1.0):
    t_observado = np.inf * np.sign(r)
else:
    t_observado = r * np.sqrt(
        (n - 2) / (1 - r**2)
    )

R2 = r**2

print("r:", r)
print("t:", t_observado)
print("gl:", gl)
print("p:", p_valor)
print("R²:", R2)

# Intervalo mediante Fisher
def intervalo_fisher(
    r: float,
    n: int,
    confianza: float = 0.95,
) -> tuple[float, float]:
    """Intervalo de confianza para una correlación de Pearson."""
    if n <= 3:
        raise ValueError("Se requieren más de 3 casos.")
    if not -1 <= r <= 1:
        raise ValueError("r debe estar entre -1 y 1.")

    # Evita valores infinitos cuando |r| es numéricamente 1
    r_seguro = np.clip(r, -0.999999, 0.999999)

    z_r = np.arctanh(r_seguro)
    se = 1 / np.sqrt(n - 3)
    z_critico = stats.norm.ppf(
        1 - (1 - confianza) / 2
    )

    li_z = z_r - z_critico * se
    ls_z = z_r + z_critico * se

    return float(np.tanh(li_z)), float(np.tanh(ls_z))

li, ls = intervalo_fisher(r, n, confianza=0.95)
print("IC 95 %:", (li, ls))

# Repetir el muestreo
def resumir_muestra(
    poblacion: pd.DataFrame,
    n: int,
    rng: np.random.Generator,
    confianza: float = 0.95,
) -> dict:
    if n > len(poblacion):
        raise ValueError("n no puede superar la población.")

    indices = rng.choice(
        poblacion.index.to_numpy(),
        size=n,
        replace=False,
    )

    datos = poblacion.loc[
        indices,
        ["educacion", "ingreso"],
    ].dropna()

    r, p = stats.pearsonr(
        datos["educacion"],
        datos["ingreso"],
    )

    li, ls = intervalo_fisher(
        r,
        len(datos),
        confianza,
    )

    return {
        "n": len(datos),
        "r": r,
        "li": li,
        "ls": ls,
        "amplitud": ls - li,
        "p": p,
    }

rng_muestras = np.random.default_rng(2026)

resultados = pd.DataFrame([
    resumir_muestra(
        poblacion,
        n=50,
        rng=rng_muestras,
    )
    for _ in range(100)
])

print(resultados[["r", "amplitud", "p"]].describe())

fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(resultados["r"], bins=15)
ax.set_xlabel("Correlación muestral")
ax.set_ylabel("Frecuencia")
ax.set_title("Variación de r entre muestras")
plt.show()
Bibliografía
  • Ritchey, Ferris J. (2008). Estadística para las ciencias sociales. McGraw-Hill. (Cap. 13: Inferencia para correlación lineal y prueba de significancia de Pearson).
  • Pardo, Antonio; Ruiz, Miguel Ángel; y San Martín, Rafael. (2009). Análisis de datos en ciencias sociales y de la salud I. Síntesis. (Cap. 9: Inferencia con el coeficiente de correlación de Pearson y transformación de Fisher).
  • Navarro, Danielle. (2018). Learning Statistics with R. Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis para correlaciones en R.